실수는 제곱하면 반드시 0 이상이 된다. 그렇다면 제곱해서 음수가 되는 수가 있을까? 허수는 이 질문에 대한 답을 내기 위해 만들어낸 수이다. 또한 실수 외부에 새로운 수인 허수가 생겼기 때문에 허수와 실수를 포함한 더 큰 수의 단위인 복소수 개념이 생겼다. 허수는 실제로 존재하지 않기 때문에 그 크기를 알 수 없고, 허수끼리는 크기도 비교할 수 없다. 이런 수가 무슨 쓸모가 있을까? 고등학교에서 복소수를 다루기는 했지만 허수의 개념과 사칙연산 정도에 그쳤고, 그 이후에 배우는 수학 개념들은 대부분 실수 범위에서 다뤄져 허수를 볼 일도 그리 많지는 않다. 그래서 나는 의문을 가졌다. “우린 왜 복소수에 대해 배웠지?” <br>내가 복수수에 대한 책을 고른 이유는 수학 시간에 복소수를 공부한 지 얼마 되지 않은 시점이어서 이 책에서는 복소수에 대해 어떤 이야기를 할지 궁금했기 때문이다. 이 책은 분량이 많지 않은데다 내용이 매우 쉽게 풀어져 있고, 앞부분의 복소수의 정의나 사칙연산에 대해서는 학교에서 이미 배웠기에 책을 읽어나가는 일이 어렵지 않았다. 그러나 가면 갈수록 교과서에서 보지 못한 심화된 내용들이 등장해서 호기심과 놀라움을 가지며 책을 읽어나갔다. 먼저 이 책에서는 복소평면에 대해 다루는데, 수직선은 실수로 모두 채울 수 있기 때문에 복소수를 그래프에 나타내기 위해 수학자들은 기존의 실수축을 x축, 허수축을 y축으로 한 복소평면을 고안했다. 또한 가장 신기한 것은 절댓값 개념의 확장이었다. 보통 학생들은 절댓값을 ‘양수는 그대로, 음수는 - 기호를 떼는 것’으로 생각하고 문제를 푼다. 그러나 실수의 절댓값의 원래 개념은 ‘수직선 위의 원점에서 그 수까지의 거리’이다. 그렇다면 같은 맥락에서 복소수의 절댓값도 생각할 수 있지 않을까? 나도 전에 ‘복소수의 절댓값도 있을까?’를 궁금해한 적이 있었지만 크기를 알 수 없는 복소수에 절댓값은 없을 것이라고 생각하고 그 의문을 잊어버렸었다. 그러나 이 책에서는 복소수의 절댓값에 대해 다루고 있었다. 위의 실수의 절댓값 개념을 확장해 복소수의 절댓값을 ‘복소평면에서 원점부터 그 복소수까지의 거리’로 정하고, 실제로 복소수의 절댓값을 구하는 과정을 보며 나조차도 잊고 있었던 의문이 풀리고 내 수학적 지식의 세계가 확장되어 가는 것에 놀라움을 느꼈다. 그렇다면 복소수의 크기도 비교할 수 있지 않을까 하는 생각도 잠깐 했었는데, 아쉽지만 그것은 불가능할 것 같다. 절댓값의 대소와 크기의 대소는 일치하지 않기 때문이다. 또한 현재 과 같은 방정식의 근은 고등학교 수학에서 다루지 않기 때문에 나는 알 수 없다. 그러나 그런 방정식의 근이 어떤 모양일지 궁금하기는 했었다. 이 책에서는 그에 대한 답도 나와 있었는데, 복소평면과 극좌표라는 새로운 개념을 이용해 답을 찾을 수 있다. 물론 사인, 코사인 등 삼각비가 등장해 복잡해서, 왜 학교에서 굳이 다루지 않았는지 이해는 갔다. 또한 이 책에서는 실수 범위에서만 생각했던 지수, 로그의 진수, 삼각함수 등을 복소수 범위까지 확장해서 생각하고 있는데, 이과 고등학생들만 이해할 수 있는 어려운 내용이라고 못을 박은 만큼 아직 고등학교 1학년생인 나로서는 이해하기 어려웠다. 마지막으로 복소수가 실생활에 사용되는 모습을 볼 수 있었는데, 주기성을 가진 모든 함수는 복소수 꼴의 함수로 변환시킬 수 있다는 푸리에 정리가 물리학, 경제학, 통계학, 공학 등에서 다방면으로 사용되고 있다는 사실을 알게 되었다. 이 책 덕분에 예전부터 가져왔던 의문도 풀 수 있었고, 많은 지식도 얻을 수 있었다. 이번에는 내 의문이 우연히 해결되었지만, 앞으로는 좀 더 적극적으로 의문을 해결하기 위해 책도 찾아보고 인터넷 검색도 하면서 더 많은 지식을 쌓아야겠다는 생각을 하게 되었다. 수학 문제풀이에 질렸을 때 이런 책을 읽으면 수학에 대한 좀 더 깊은 이해도 생기고, 교과서 밖의 지식도 얻을 수 있어 좋을 것 같다.