코로나-19 변이를 표현하기 위한 SIR 모델의 변형

메이저스 수학&통계 팀 (박상준, 윤서준, 홍진영, 김건우)

동기: SIR 모델은 전염병의 전파 양상을 파악하기 위한 미분방정식 모델로, 수학적으로 실제 전파 양상과 비슷한 모델을 얻을 수 있다는 점에서 의의가 있지만, 코로나-19 등의 재발 확률이 있는 바이러스, 변이 바이러스를 표현하기 어렵다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 실제 델타 변이의 전파 양상과 비슷한 모델을 얻어보고자 한다.

내용: 먼저 SIR 모델은 다음과 같이 정의되고 나타내어진다:

Susceptible(비감염자), Infectious(감염자), Recovered(회복된 사람)

β : 전파율, γ : 회복률, [eqn: 1.` {dS} over {dt} =- {beta } over {N} I BULLET S,``````2.` {dI} over {dt} = {beta } over {N} I BULLET S- gamma I,``````3.` {dR} over {dt} = gamma I]

여기서 N = 1, β = 3, γ = 0.5의 경우에서 도출된 그래프이다.

코로나-19의 경우 재발 확률이 있으므로 R 그룹과 S 그룹을 사실상 동일시하기로 하였다.

산출물: [eqn: {cases{{dI _{1}} over {dt} = {beta _{1}} over {N} I _{1} S- gamma I _{1} ,`&(0 LEQ t<T)#{dI _{2}} over {dt} = {beta _{2}} over {N} I _{2} S- gamma I _{2} ,`&(T LEQ t LEQ P)}} `], [eqn: beta < beta _{1}], [eqn: S`=`1`-`I].

해당 수식을 그래프로 나타내면 다음과 같다. :

비교: 실제 인도의 델타 변이 확산 양상을 나타내기 위해, 인도의 확진자 수를 나타내는 데이터를 탐색했고, 이를 Excel 프로그램을 이용하여 데이터를 가공한 다음 R 프로그램을 통해 산점도로 정리하였다. 이를 방금 변형시킨 그래프 개형과 비교한 그림이다:

한계: 그러나 변형한 모델은 기존 SIR 모델의 상당수를 변형하고 생략하여 아직은 코로나-19의 델타 변이와 같은 양상을 지닌 바이러스에게만 적용된다.

따라서 모든 바이러스에 대해 상당히 유사한 경향성을 띄는 다른 미분방정식 모델의 정의가 필요하다.