21018 이상훈

수학 탐구서

1.서론

- 좌표평면에서 모든 선은 한 바퀴를 돌릴 수 있다고 생각하는가? 우리는 보통 한 바퀴, 두 바퀴정도 돌리고도 남을 수만 바퀴를 돌릴 수 있다고 말할 것이다. 하지만 누군가 한 바퀴 조차 돌릴 수 없다고 말한다면 당신은 믿겠는가? 어떻게 해서 선이 한 바퀴를 돌릴 수 없다고 하는지 알아보자.

2.본론

- 좌표평면에서 선을 한 바퀴 돌릴 때 다음과 같은 경우로 생각해보자.

-1

+1

직선a

점A

위와 같은 좌표 평면에 원점O를 중심으로 [eqn: x=±1]직선을 그어보자. 그리고 무조건 원점을 지나는 직선 a를 그려본다면, 직선 a는 두 가지 경우의 수가 존재한다.

-첫 째, 직선a가 y축과 일치하여 [eqn: x=±1]에 접하지 않을 경우

-둘 째, 직선a가 y축과 일치하지 않아 [eqn: x=±1]에 접할 경우

직선a가 한 바퀴를 돌기 위해서는 이 두 경우의 수를 모두 한 번씩은 지나야 한 바퀴를 돌 수 있다. 하지만 직선a와 [eqn: x=±1]과 접하는 점을 A점이라고 할 때, 직선a가 반시계 방향으로 한 바퀴를 돈다고 하면 점A의 y값은 무한히 늘어날 것이다. 이것을 증명하는 방법은 위의 그래프의 모양이 tan의 단위원에서 값과 동일한데 tan값은 무한히 발산하기 때문에, 고로 점A값은 발산한다고 말할 수 있다. (tan@=점A)

그럼 점A가 무한히 발산한다는 뜻은 무엇일까. 점A가 무한히 발산한다는 뜻은 (ex, x=+1위에서만 생각해보자) x=+1위에 존재할 수 밖에 없다는 뜻이고 고로 직선a는 x=+1과 접할 수 밖에 없게 된다. 직선 a가 x=+1과 접할 수 밖에 없게 된다면 위의 첫 째 경우의 수를 성립하지 않아 결국 한 바퀴를 돌 수 없게 된다.

- 위의 그래프를 탄젠트 그래프로 생각해 보자.

선OA가 한 바퀴 돌기 위해선 탄젠트 그래프에서 x값이 0부터 2π까지 연속 되어야 한다. 하지만 탄젠트 그래프에는 점근선이 있어 연속 되지 못한다.

또한, 선OA가 한 바퀴 돌 수 있다는 관점에서 보게 되면 이상한 현상이 발생하는데, 그것은 아래와 같다.

- 탄젠트 값은 무한히 증가하거나 감소하고 있는데, 선a가 한 바퀴를 돌기 위해서 x값이 점근선 근처를 지날 때, x값에 따른 y값은 양의 방향으로 무한히 증가하다가 점근선을 지나자마자 음의 무한에서 나타나 양의 방향으로 상승한다. 즉, 예를 들자면, 가족과 캠핑을 간 영수가 계곡으로 조약돌을 던졌는데 그 돌이 영수 뒷통수를 쳤다는 이야기 같을 것이다.

하지만 그렇다 해도 선을 한 바퀴를 돌릴 수 없다는 말을 쉽게 받아들이긴 쉽지 않다. 좌표평면상엔 점 2개만 있으면 어디든 직선을 그을 수 있고, 그것을 선a에 접목시키면 한 바퀴는 돌 수 있다고 생각할 것이다. 그럼 위 두 경우의 수를 모두 만족시키는 방법은 없는 걸까?

본 작성자는 아래와 같이 생각해 본다.

1. 시간 – 우리가 보통 수학을 생각할 때 시간의 영향을 따지는가? 보통 우리가 수학적인 문제에 생각할 때 시간을 생각 하지 않았다. 증거로는 바로 제논의 역설에서 확인 할 수 있었다. 2000년간 시간을 고려하지 않았기 때문에 제논의 역설 중 아킬레스와 거북이 경주가 말이 안됨을 느끼고 있어도 증명해내지 못했던 것이다. 이 문제 또한 시간을 고려하지 않고 생각했기 때문에 이런 모순이 생각는 것이 아닐까? 사실상 아킬레스가 거북이를 넘어서는 시간과 거리도 순환소수로, 무한을 뛰어넘는 일을 하는 것이다. 탄젠트 값이 한 바퀴를 돌 수 없는 이유도 시간이 빠졌기 때문이 아닐까 생각해 본다.

2. 속력 – 직선a가 일정한 속력을 가지고 반시계방향으로 회전한다고 하면 직선a가 회전하는 속력은 일정하지만, 점A가 이동하는 속력은 점점 빨라져 결국 무한이 빨라질 것이다. 여기서 수학적으로만 생각한다면 무엇이 문제냐 할 수 있지만 물리적이나 현실적으로 생각한다면 어떤 물체는 빛의 속도를 넘을 수 없음으로 문제가 생긴다고 할 수 있다. 수학은 세상을 인간이 알아보고 연구할 수 있도록 인간이 만든 언어라고 생각한다. 그리고 대부분의 학문이 이렇다. 고로 수학을 수학적으로만 접근하지 않고 여러 가지 방향으로 접근해볼 필요가 있을 것이다. 우주나 세상이 원하는 것은 이런 관점일 수도 있다.

3. 차원 – 우리가 이 직선이 한 바퀴를 돌 수 없음을 설명한데에는 좌표평면 위라는 조건이 있다. 즉, 2차원의 공간에서만 생각한 것이다. 인간의 눈은 3차원, 4차원, 고차원의 공간을 2차원을 평면으로 받아들인다. 예를 들자면 3D영화나 VR을 이용한 공간은 사실 2차원의 화면으로 정보를 보내는데 우리 눈은 그것을 3차원이나 입체적인 공간이라 받아들이는 경우가 있을 것이다. 즉 좌표평면 위라는 조건이 우리가 알 수 없는 고차원의 공간의 입장으로 바라봤을 때는 선의 움직임이 아예 달라 보일 수 있을 것이다.

3.결론

- 좌표평면상의 선이 한 바퀴 돌 수 있는가?에 대한 질문에 대부분의 사람들은 당연히 한 바퀴를 돌 수 있다고 대답할 것이다. 하지만 탄젠트 그래프나, 여러 가지 조건을 생각하면 우리가 ‘당연히’ 라고 생각 하는 것들이 당연하지 못 한 것이 될 수 있다. 특히. 무한의 개념이 들어가면 이런 현상이 빈번하게 발생하는데. 무한은 우리 주변에 동떨어진 개념이 아닌 가까이 있는 개념임을 각인하고 우리의 시아를 넓혀 개방적인 마음으로 볼 필요가 있다.